Question

设集合W由满足下列两个条件的数列{a_n}构成：
①；②存在实数M，使a_n≤M．（ n为正整数）
（Ⅰ）在只有5项的有限数列{a_n}、{b_n}中，其中a₁=1，a₂=2，a₃=3，a₄=4，a₅=5；b₁=1，b₂=4，b₃=5，b₄=4，b₅=1，试判断数列{a_n}、{b_n}是否为集合W中的元素；
（Ⅱ）设{c_n}是等差数列，S_n是其前n项和，c₃=4，S₃=18，证明数列{S_n}∈W；并写出M的取值范围；
（Ⅲ）设数列{d_n}∈W，且对满足条件的常数M，存在正整数k，使d_k=M．
求证：d_k+1＞d_k+2＞d_k+3．

Answer

（Ⅰ）要判断数列不为集合中的元素，只需要在数列中找一个元素不是集合中的元素即可．要判断数列为集合中的元素，需要严格证明，对于数列{bn}，当nÎ{1，2，3，4，5}时，看数列{bn}是否满足集合W的条件①②即可．
（Ⅱ）是证明题．要证明数列{Sn}∈W，首先利用题中的条件：{cn}是等差数列，Sn是其前n项和，c3=4，S3=18确定出数列{Sn}，然后再证明满足①②即可．
（Ⅲ）也是证明题．要求证dk+1＞dk+2＞dk+3，数列{dn}∈W所以满足W的两个条件，得到．整理得dk+2＜dk+1+（dk+1-dk）=dk+1+（dk+1-M），因为dk=M，得到dk+1≤M，即dk+2＜dk+1；又因为，得到dk+3＜dk+2+（dk+2-dk+1）＜dk+2，整理可得证．
【解析】
（Ⅰ）对于数列{an}，当n=1时，=a2，
显然不满足集合W的条件①，故{an}不是集合W中的元素．（2分）
对于数列{bn}，当n={1，2，3，4，5}时，
不仅有，，，
而且有bn≤5，显然满足集合W的条件①②，故{bn}是集合W中的元素．（4分）
（Ⅱ）∵{cn}是等差数列，Sn是其前n项和，c3=4，S3=18，设其公差为d，
∴c3-2d+c3-d+c3=18，
∴d=-2
∴cn=c3+（n-3）d=-2n+10，Sn=-n2+9n（7分）
∵，∴；
∵，∴Sn的最大值是S4=S5=20，即Sn≤S4=20．
∴{Sn}∈W，且M的取值范围是[20，+∞）（9分）
（Ⅲ）证明：∵{dn}∈W，∴，
整理dk+2＜dk+1+（dk+1-dk）=dk+1+（dk+1-M），
∵dk=M，∴dk+1≤M，∴dk+2＜dk+1；
又∵，∴dk+3＜dk+2+（dk+2-dk+1）＜dk+2，
∴dk+1＞dk+2＞dk+3．（14分）