Question

观察下列三角形数表
假设第n行的第二个数为a_n（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）依次写出第六行的所有6个数字；
（Ⅱ）归纳出a_n+1与a_n的关系式并求出a_n的通项公式；
（Ⅲ）设a_nb_n=1，求证：b₂+b₃+…+b_n＜2．

Answer

（I）根据三角形数表，两侧数为从1开始的自然数列，中间的数从第三行起，每一个数等于它两肩上的数之和的规律写出来．
（II）依据“中间的数从第三行起，每一个数等于它两肩上的数之和”则第二个数等于上一行第一个数与第二个数的和，即有an+1=an+n（n≥2），再由累加法求解．
（III）由anbn=1，解得再由裂项相消法证明．
【解析】
（I）第六行的所有6个数字分别是
6，16，25，25，16，6；（2分）
（II）依题意an+1=an+n（n≥2），
a2=2an=a2+（a3-a2）+（a4-a3）++（an-an-1）
=，
所以；
（III）因为anbn=1，所以（12分）=．（15分）