Question

如图，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，点E在棱D₁D上，截面EAC∥D₁B，且面EAC与底面ABCD所成的角为45°，AB=a．
（1）求截面EAC的面积；
（2）求异面直线A₁B₁与AC之间的距离；
（3）求三棱锥B₁-BAC的体积．

Answer

（1）如图，利用∠EOD是面EAC与底面AC所成二面角的平面角，结合直角三角形中的边角关系即可求得截面EAC的面积；
（2）先证明A1A是异面直线A1B1与AC间的公垂线，再利用直角三角形中勾股定理即可求得线段A1A的长度；
（3）欲求三棱锥B1-BAC的体积，考虑到则先求三棱锥A-EOB1的体积即可．
（1）【解析】
连接BD交AC于O，连接EO
∵底面ABCD是正方形，∴DO⊥AC
又∵ED⊥底面AC，∴EO⊥AC
∴∠EOD是面EAC与底面AC所成二面角的平面角．∴∠EOD=45°.．
故．
（2）【解析】
由题设ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，得A1A⊥底面AC，A1A⊥AC，
又A1A⊥A1B1，
∴A1A是异面直线A1B1与AC间的公垂线．∵D1B1∥面EAC，且面D1BD与面EAC交线为EO，
∴D1B1∥EO
又O是DE的中点，∴E是D1D的中点，D1B1=2EO=2a
∴D1D=．异面直线A1B1与AC间的距离为．
（3）【解析】
连接B1O，则
∵AO⊥面BDD1B1，
∴AO是三棱锥A-EOB1的高，AO=．
在正方形BDD1B1中，E、O分别是D1D、DB的中点（如右图），则．
∴．所以三棱锥B1-EAC的体积是．