Question

A={a₁，a₂，…，a_k}（k≥2），其中a_i∈Z（i=1，2，…，k），由A中的元素构成两个相应的集合：S={（a，b）|a∈A，b∈A，a+b∈A}，T={（a，b）|a∈A，b∈A，a-b∈A}．其中（a，b）是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n．若对于任意的a∈A，总有-a不属于A，则称集合A具有性质P．
（1）对任何具有性质P的集合A，证明：；
（2）判断m和n的大小关系，并证明你的结论．

Answer

（1）首先，由A中元素构成的有序数对（ai，aj）共有k2个，已知0不属于A，得到（ai，ai）不属于T，当（ai，aj）∈T时，（aj，ai）不属于T，得到集合T中元素的个数最多为两者之差．
（2）分两种情况进行讨论对于（a，b）∈S，和对于（a，b）∈T，根据所给的定义得到S中元素的个数不多于T中元素的个数，即m≤n，T中元素的个数不多于S中元素的个数，即n≤m，从而得到m=n．
（1）证明：首先，由A中元素构成的有序数对（ai，aj）共有k2个．
∵0不属于A，
∴（ai，ai）不属于T（i=1，2，，k）；
又∵当a∈A时，-a不属于A时，-a不属于A，
当（ai，aj）∈T时，（aj，ai）不属于T（i，j=1，2，，k）．
从而，集合T中元素的个数最多为，
即．
（2）【解析】
m=n，
证明如下：
（1）对于（a，b）∈S，根据定义，a∈A，b∈A，且a+b∈A，从而（a+b，b）∈T．
如果（a，b）与（c，d）是S的不同元素，
那么a=c与b=d中至少有一个不成立，从而a+b=c+d与b=d中也至少有一个不成立．
故（a+b，b）与（c+d，d）也是T的不同元素．
可见，S中元素的个数不多于T中元素的个数，即m≤n，
（2）对于（a，b）∈T，根据定义，a∈A，b∈A，且a-b∈A，从而（a-b，b）∈S．
如果（a，b）与（c，d）是T的不同元素，那么a=c与b=d中至少有一个不成立，
从而a-b=c-d与b=d中也不至少有一个不成立，
故（a-b，b）与（c-d，d）也是S的不同元素．
可见，T中元素的个数不多于S中元素的个数，即n≤m，
由（1）（2）可知，m=n．