Question

在平面直角坐标系xoy中，已知圆心在直线y=x+4上，半径为的圆C经过坐标原点O，椭圆与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．
（1）求圆C的方程；
（2）若F为椭圆的右焦点，点P在圆C上，且满足PF=4，求点P的坐标．

Answer

（1）设出圆心的坐标，把原点代入圆方程求得t，则圆心坐标可得，进而求得圆的方程．
（2）设P（m，n），根据题意求得F的坐标，把点P和F代入圆的方程，联立求得m和n．
【解析】
（1）由已知可设圆心坐标为（t，t+4），
t2+（t+4）2=8得t=-2，所以圆心坐标为（-2，2），
所以圆的方程为（x+2）2+（y-2）2=8；
（2）设P（m，n），由已知椭圆与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10，得a=5
∴c2=25-9，c=4，故F（4，0），
则（m-4）2+（n-0）2=16，（m+2）2+（n-2）2=8
解之得：或．
∴P（0，0）或P（，）