Question

在平面直角坐标系xoy中，已知圆C₁：（x+3）²+（y-1）²=4和圆C₂：（x-4）²+（y-5）²=4
（I）若直线l过点A（4，0），且被圆C₁截得的弦长为，求直线l的方程；
（II）设P（a，b）为平面上的点，满足：存在过点P的两条互相垂的直线l₁与l₂，l₁的斜率为2，它们分别与圆C₁和圆C₂相交，且直线l₁被圆C₁截得的弦长与直线l₂被圆C₂截得的弦长相等，试求满足条件的a，b的关系式．

Answer

（I ）因为直线l过点A（4，0），故可以设出直线l的点斜式方程，又由直线被圆C1截得的弦长为，根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理，我们可以求出弦心距，即圆心到直线的距离，得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直线l的方程．
（II）根据题意，可以设出过P点的直线l1与l2的点斜式方程，分析可得圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等，即可以得到一个关于a、b的方程，整理变形可得答案．
【解析】
（Ⅰ）若直线l的斜率不存在，则直线x=4与圆C1不相交，
故直线l的斜率存在，不妨设为k，则直线l的方程为y=k（x-4），
即kx-y-4k=0圆C1圆心（-3，1）到直线的距离，
直线l被圆C1截得的弦长为，则=1，
联立以上两式可得k=0或，
故所求直线l方程为y=0或．

（Ⅱ）依题意直线的方程可设为l1：y-b=2（x-a），l2：，
因为两圆半径相等，且分别被两直线截得的弦长相等，
故圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等，
即，
解得：a-3b+21=0或3a+b-7=0．