Question

某海滨城市坐落在一个三角形海域的顶点O处（如图），一条海岸线AO在城市O的正东方向，另一条海岸线OB在城市O北偏东方向，位于城市O北偏东方向15km的P处有一个美丽的小岛．旅游公司拟开发如下一条旅游观光线路：从城市O出发沿海岸线OA到达C处，再从海面直线航行，途经小岛P到达海岸线OB的D处，然后返回城市O．为了节省开发成本，要求这条旅游观光线路所围成的三角形区域面积最小，问C处应选址何处？并求这个三角形区域的最小面积．

Answer

本题利用解析法求解．先以O为原点，直线OA为x轴建立平面直角坐标系．得到直线OB的方程及点P的坐标为，进而得到三角形区域的面积表达式最后利用基本不等式求得面积S△OCD的最小值即可．
【解析】
以O为原点，直线OA为x轴建立平面直角坐标系．直线OB的倾斜角为，
从而直线OB的方程为y=3x．（2分）
由已知∠POC=α，|OP|=15，，得点P的坐标为（9，12）．（4分）
设点C的坐标为（t，0），则直线PC的方程为：，（5分）
联立y=3x，得，∴，∴t＞5．（（7分））
∴（9分）
==120．（11分）
上式当且仅当，即t=10时取等号．
而当t=9时，
∴当t=10时，S△OCD取最小值120．（14分）
答：当C地处于城市O正东方向10km处时，能使三角形区域面积最小，其最小面积为120（km）2．（16分）