Question

已知a₁=2，点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=x²+2x的图象上，其中n=1，2，3，…．
（Ⅰ）证明数列{lg（1+a_n）}是等比数列；
（Ⅱ）设T_n=（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_n），求T_n及数列{a_n}的通项公式．

Answer

（Ⅰ）把点（an，an+1）代入函数f（x）的解析式，可得到an+1与an关系式两边取对数化简可得进而可证明数列{lg（1+an）}为等比数列．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）{lg（1+an）}为等比数列，可求得数列lg（1+an）}的通项公式，进而可求数列{an}的通项公式．根据{an}的通项公式代入Tn=（1+a1）（1+a2）…（1+an），进而求得Tn
（Ⅰ）证明：由已知，得an+1=an2+2an，
∴an+1+1=（an+1）2．
∵a1=2，∴an+1＞1．
两边取对数，得lg（an+1+1）=2lg（an+1），
即
数列{lg（1+an）}是以lg3为首项，
公比为2的等比数列．
（Ⅱ）【解析】
由（Ⅰ）得
，
∴，
∴．
∴Tn=（1+a1）（1+a2）（1+an）
=
==．