Question

已知以AB为直径的半圆有一个内接正方形CDEF，其边长为1（如图）设AC=a，BC=b，作数列u₁=a-b，u₂=a²-ab+b²，u₃=a³-a²b+ab²-b³，…，u_k=a^k-a^k-1b+a^k-2b²-…+（-1）^kb^k；
求证：u_n=u_n-1+u_n-2（n≥3）．

Answer

要证un=un-1+un-2（n≥3），利用题目中给出的信息先求出通项un，然后利用圆中直角三角形的几何性质建立un，un-1，un-2三者的关系，即可得证．
证明：通项公式可写成
uk=ak-ak-1b+ak-2b2-+（-1）kbk=
因a-b=AC-BC=AC-AF=FC=1，
ab=AC•BC=CD2=1．
故得，n≥3
=
=，

=
于是有．n≥3