Question

若有穷数列a₁，a₂…a_n（n是正整数），满足a₁=a_n，a₂=a_n-1…a_n=a₁即a_i=a_n-i+1
（i是正整数，且1≤i≤n），就称该数列为“对称数列”．
（1）已知数列{b_n}是项数为7的对称数列，且b₁，b₂，b₃，b₄成等差数列，b₁=2，b₄=11，试写出{b_n}的每一项
（2）已知{c_n}是项数为2k-1（k≥1）的对称数列，且c_k，c_k+1…c_2k-1构成首项为50，公差为-4的等差数列，数列{c_n}的前2k-1项和为S_2k-1，则当k为何值时，S_2k-1取到最大值？最大值为多少？
（3）对于给定的正整数m＞1，试写出所有项数不超过2m的对称数列，使得1，2，2²…2^m-1成为数列中的连续项；当m＞1500时，试求其中一个数列的前2008项和S₂₀₀₈

Answer

（1）设{bn}的公差为d，由b1，b2，b3，b4成等差数列求解d从而求得数列{bn}，
（2）先得到S2k-1=-4（k-13）2+4×132-50，用二次函数求解，
（3）按照1，2，22…2m-1是数列中的连续项按照定义，用组合的方式写出来所有可能的数列，再按其数列的规律求前n项和取符合条件的一组即可．
【解析】
（1）设{bn}的公差为d，则b4=b1+3d=2+3d=11，解得d=3，∴数列{bn}为2，5，8，11，8，5，2．
（2）S2k-1=c1+c2++ck-1+ck+ck+1++c2k-1=2（ck+ck+1++c2k-1）-ck，
S2k-1=-4（k-13）2+4×132-50，
∴当k=13时，S2k-1取得最大值．S2k-1的最大值为626．
（3）所有可能的“对称数列”是：
①1，2，22，，2m-2，2m-1，2m-2，，22，2，1；
②1，2，22，，2m-2，2m-1，2m-1，2m-2，，22，2，1；
③2m-1，2m-2，，22，2，1，2，22，，2m-2，2m-1；
④2m-1，2m-2，，22，2，1，1，2，22，，2m-2，2m-1．
对于①，当m≥2008时，S2008=1+2+22++22007=22008-1．
当1500＜m≤2007时，S2008=1+2++2m-2+2m-1+2m-2++22m-2009=2m-1+2m-1-22m-2009=2m+2m-1-22m-2009-1．
对于②，当m≥2008时，S2008=22008-1．
当1500＜m≤2007时，S2008=2m+1-22m-2008-1．
对于③，当m≥2008时，S2008=2m-2m-2008．
当1500＜m≤2007时，S2008=2m+22009-m-3．
对于④，当m≥2008时，S2008=2m-2m-2008．
当1500＜m≤2007时，S2008=2m+22008-m-2．