Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长均为2，P是侧棱AA₁上任意一点．
（1）求证：B₁P不可能与平面ACC₁A₁垂直；
（2）当BC₁⊥B₁P时，求二面角C-B₁P-C₁的大小．

Answer

（1）连接B1P，假设B1P⊥平面ACC1A1，根据线面垂直的性质定理可知∠B1A1C1=90°，这与△A1B1C1是等边三角形矛盾，所以B1P不可能与平面ACC1A1垂直；
（2）取A1B1的中点D，连接C1D、BD、BC1，先求出AP长，连接B1C，交BC1于点O，过O在平面CPB1上作OE⊥B1P，交B1P于点E，连接C1E，根据二面角的定义证得∠OEC1是二面角C-B1P-C1的平面角，在三角形OEC1中求出此角即可．
【解析】
（1）证明：连接B1P，假设B1P⊥平面ACC1A1，则B1P⊥A1C1．
由于三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱，
∴AA1⊥A1C1．
∴A1C1⊥侧面ABB1A1．
∴A1C1⊥A1B1，
即∠B1A1C1=90°．
这与△A1B1C1是等边三角形矛盾．
∴B1P不可能与平面ACC1A1垂直．
（2）取A1B1的中点D，连接C1D、BD、BC1，
则C1D⊥A1B1，又∵AA1⊥平面A1B1C1，
∴AA1⊥C1D．∴C1D⊥平面ABB1A1．
∴BD是BC1在平面ABB1A1上的射影．
∵BC1⊥B1P，∴BD⊥B1P．∴∠B1BD=90°-∠BB1P=∠A1B1P．
又A1B1=B1B=2，∴△BB1D≌△B1A1P，A1P=B1D=1．∴AP=1．
连接B1C，交BC1于点O，则BC1⊥B1C．
又BC1⊥B1P，∴BC1⊥平面B1CP．
过O在平面CPB1上作OE⊥B1P，交B1P于点E，
连接C1E，则B1P⊥C1E，
∴∠OEC1是二面角C-B1P-C1的平面角．
由于CP=B1P=，O为B1C的中点，连接OP，
∴PO⊥B1C，OP•OB1=OE•B1P．∴OE=．
∴tan∠OEC1==．
∴∠OEC1=arctan．
故二面角C-B1P-C1的大小为arctan．