Question

（1）设抛物线y²=4x截直线y=2x+k所得的弦长为，求k的值．
（2）以本题（1）得到的弦为底边，以x轴上的点P为顶点做成三角形，当这三角形的面积为9时，求P的坐标．

Answer

（1）设出交点坐标，联立直线和抛物线的方程，整理，由韦达定理，算出（x1-x2）2，（y1-y2）2，再有两点间距离公式计算出弦长．求出k．
（2）设出P点坐标，由点p到直线的距离求出三角形的高，再由面积公式代入求解，即得．
【解析】
（1）设直线与抛物线的交点为P1（x1，y1），P2（x2，y2）．
解方程组：，得（2x+k）2=4x，
即4x2+4（k-1）x+k2=0，
故有x1+x2=1-k，x1x2=．
∴（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2
=．
又因P1，P2在直线y=2x+k上，故
（y1-y2）2=4（x1-x2）2=4（1-2k）．
根据题设条件，
即（1-2k）+4（1-2k）=45，解得：k=-4．

（2）设x轴上一点P的坐标为（a，0）又点P到直线P1P2的距离为h，则有．
依题意得△PP1P2的面积关系：，即6=|2a-4|，
∴a=5，a=-1．