Question

等差数列{a_n}的各项均为正数，a₁=3，前n项和为S_n，{b_n}为等比数列，b₁=2，且b₂S₂=32，b₃S₃=120．
（1）求a_n与b_n；
（2）求数列{a_nb_n}的前n项和T_n．
（3）若对任意正整数n和任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正整数，利用等差数列和等比数列的通项公式，根据b2S2=32，b3S3=120建立方程组求得d和q，进而根据数列的首项求得an与bn．
（2）根据（1）中求得的an与bn，利用错位相减法求得数列{anbn}的前n项和Tn．
（3）利用裂项法求得=，进而可知问题等价于f（x）=x2+ax+1的最小值大于或等于，进而求得a的范围．
【解析】
（1）设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正整数，an=3+（n-1）d，bn=2qn-1
依题意有，即，
解得，或者（舍去），
故an=3+2（n-1）=2n+1，bn=2n．
（2）anbn=（2n+1）•2n．Tn=3•2+5•22++（2n-1）•2n-1+（2n+1）•2n，2Tn=3•22+5•23++（2n-1）•2n+（2n+1）•2n+1，
两式相减得-Tn=3•2+2•22+2•23++2•2n-（2n+1）2n+1=2+22+23++2n+1-（2n+1）2n+1=2n+2-2-（2n+1）2n+1=（1-2n）2n+1-2，
所以Tn=（2n-1）•2n+1+2．
（3）Sn=3+5+…+（2n+1）=n（n+2），
∴===，
问题等价于f（x）=x2+ax+1的最小值大于或等于，
即，即a2≤1，解得-1≤a≤1．