Question

已知在公比为实数的等比数列{a_n}中，a₃=4，且a₄，a₅+4，a₆成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求的最大值．

Answer

（I）先由等比数列的通项公式把已知条件表示为2（4q2+4）=4q+4q3，解方程可求q，通项公式an
（II）利用等比数列的前n项和公式可求sn，代入整理可得，，从而可求最大值．
【解析】
（Ⅰ）设数列{an}的公比为q（q∈R），依题意可得2（a5+4）=a4+a6，（2分）
即2（4q2+4）=4q+4q3，整理得，（q2+1）（q-2）=0（4分）
∵q∈R，∴q=2，a1=1．∴数列{an}的通项公式an=2n-1（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=2n-1，∴Sn=2n-1∴（10分）
∵n≥1，∴2n-1≥1，∴≤3，
∴当n=1时，有最大值3．（12分）