Question

如图，ABCD是边长为2a的正方形，ABEF是矩形，且二面角C-AB-F是直二面角，AF=a，G是EF的中点．
（Ⅰ）求证：平面AGC⊥平面BGC；
（Ⅱ）求GB与平面AGC所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角B-AC-G的大小．

Answer

法一：（Ⅰ）要证平面AGC⊥平面BGC，只需证明，平面AGC内的直线AG，垂直平面BGC内的两条相交直线BC、BG即可．
（Ⅱ）作BH⊥GC，垂足为H，说明∠BGH是BG与平面AGC所成的角，解三角形BGH，求GB与平面AGC所成角的大小；
（Ⅲ）BH⊥平面AGC．作BO⊥AC，垂足为O，连接HO，说明∠BOH为二面角B-AC-G的平面角，解△CBG求二面角B-AC-G的大小．
法二：以A为原点建立直角坐标系A-xyz，
（Ⅰ）求出向量，，，计算•=0，•=0证明AG⊥平面BGC，即可．
（Ⅱ）求出平面AGC的一个法向量n，以及，利用，求GB与平面AGC所成角的大小；
（Ⅲ）求出平面ABCD的一个法向量，平面AGC的一个法向量n，由，求二面角B-AC-G的大小．
【解析】
解法一：（Ⅰ）∵正方形ABCD，
∴CB⊥AB．
又二面角C-AB-F是直二面角，
∴CB⊥平面ABEF．
∵AG⊂平面ABEF，
∴CB⊥AG．
又AD=2a，AF=a，ABEF是矩形，G是EF的中点，
∴AG=BG=，AB=2a，AB2=AG2+BG2，
∴BG⊥AG又BC∩BG=B，
∴AG⊥平面CBG，
而AG⊂平面AGC，故平面AGC⊥平面BGC．（5分）
（Ⅱ）如图，由（Ⅰ）知平面AGC⊥平面BGC，
且交于GC，在平面BGC内作BH⊥GC，垂足为H，则BH⊥平面AGC．
∴∠BGH是BG与平面AGC所成的角．（7分）
∴在Rt△CBG中，BG=．
∴．
即BG与平面AGC所成的角为．（9分）

（Ⅲ）由（Ⅱ），BH⊥平面AGC．作BO⊥AC，垂足为O，连接HO，则HO⊥AC，
∴∠BOH为二面角B-AC-G的平面角..（11分）
∵在Rt△ABC中，BO=a，在Rt△CBG中，．
∴在Rt△BOH中，（13分）
即二面角B-AC-G的大小为arcsin．（14分）

解法二：
如图，以A为原点建立直角坐标系A-xyz，
则A（0，0，0），B（0，2a，0），C（0，2a，2a），G（a，a，0），F（a，0，0）．
（Ⅰ）=（a，a，0），=
（a，-a，0），=（0，0，2a），
∴•=（a，a，0）•（a，-a，0）=0，•=（a，a，0）•（0，0，2a）=0．
∴AG⊥BG，AG⊥BC，
∴AG⊥平面BCG，又AG⊂平面ACG，
故平面ACG⊥平面BCG．（5分）
（Ⅱ）设GB与平面AGC所成角为θ．
由题意可得=（a，a，0），=（0，2a，2a），=（a，-a，0）．
设平面AGC的一个法向量为n=（x，y，1），
由．
∴．
∴GB与平面AGC所成角的大小为（9分）
（Ⅲ）因n=（1，-1，1）是平面AGC的一个法向量，
又AF⊥平面ABCD，平面ABCD的一个法向量=（a，0，0），
∴设n与的夹角为α，得，
∴二面角B-AC-G的大小为arccos．（14分）