Question

已知动圆与直线x=-1相切，且过定点F（1，0），动圆圆心为M．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）若直线l与曲线C交于A、B两点，且（O为坐标原点），求证：直线l过一定点．

Answer

（1）根据抛物线的定义和题设中的条件可知点M是以F（1，0）为焦点，以x=-1为准线的抛物线，焦点到准线的距离p=2，进而求得抛物线方程．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）代入到求得x1x2+y1y2=5，把A，B坐标代入抛物线方程进而求得Þy12y22=16x1x2②联立方程求得y1y2和（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2），进而看当x1=x2时，AB⊥x轴，进而根据x12-y12=5和y12=4x1求得x，即AB的方程；当
x1≠x2，进而求得AB的斜率，根据点A表示出AB的直线方程整理可知过定点（5，0），综合结论可得．
【解析】
（1）由已知，点M到直线x=-1的距离等于到点（1，0）的距离，所以点M是以F（1，0）为焦点，以x=-1为准线的抛物线，焦点到准线的距离p=2，
∴点M的轨迹方程为y2=4x
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由可得：x1x2+y1y2=5①
∵A、B均在抛物线上，
∴Þy12y22=16x1x2②
由①②可得：y12y22=16（5-y1y2）即y12y22+16y1y2-80=0，
∴y1y2=-20或y1y2=4（舍去）
再由相减得：（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2），
若x1=x2，则AB⊥x轴，y2=-y1，由①：x12-y12=5，结合y12=4x1得：x1=5，
∴此时AB的方程为x=5
若x1≠x2，则，即为直线AB的斜率，而，则AB的方程为：，
即，
∴也过定点（5，0）
综上得：直线AB过定点（5，0）