Question

设数列{a_n}，{b_n}满足，且b_n=ln（1+a_n），n∈N*．
（1）证明：；
（2）记{a_n²}，{b_n}的前n项和分别为A_n，B_n，证明：2B_n-A_n＜8．

Answer

（1）可先证明，由题意易知an＞0（n∈N*），故bn＞0（n∈N*），故只要证bn-an＞0即可，
结合题目条件可利用构造函数证明．，也可构造函数证明．
（2）由条件可得，可求出an用错位相减法求出An，再结合（1）中的关系比较大小即可．
【解析】
（1）由知，an＞0（n∈N*），故bn＞0（n∈N*）．，（2分）
设函数，则当x＞0时，，
∴f（x）在[0，+∞）上是增函数，
∴f（x）＞f（0）=0，即bn-an＞0，∴
∵．
设函数g（x）=ln（1+x）-x（x≥0），则当x＞0时，，
∴g（x）在[0，+∞）上是减函数，故g（x）＜g（0）=0，
∴ln（1+an）-an＜0
综上得：
（2）由得：，
∴数列是以1为首项，以为公比的等比数列，
∴，
∵2bn-an2=2ln（1+an），由（1）的结论有ln（1+an）＜an，
∴2bn-an2＜2an，
∴．
令Sn=，则，相减得：，
∴，（13分）
∴