Question

已知函数f（x）=ax³-cx，x∈[-1，1]．
（I）若a=4，c=3，求证：对任意x∈[-1，1]，恒有|f（x）|≤1；
（II）若对任意x∈[-1，1]，恒有|f（x）|≤1，求证：|a|≤4．

Answer

（I）把a=4，c=3，代入求得f（x）的解析式，由题意先对函数y进行求导，解出极值点，然后再根据函数的定义域，把极值点和区间端点值代入已知函数，比较函数值的大小，求出函数的最值，从而求证；
（II）对f（x）求导，解出极值点为，代入求出函数的最值，再根据|f（x）|≤1，利用绝对值不等式的性质进行求解，从而证得|a|≤4．
证明：（I）由a=4，c=3，得f（x）=4x3-3x，
于是f′（x）=12x2-3，
令f′（x）=0，可得x=±，
∴当-1＜x＜-或＜x＜1，时f′（x）＞0，
当-＜x＜时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）的增区间为（-1，-），（，1），减区间（-，），
又f（-1）=-1，f（-）=1，f（1）=1，f（）=-1，
故对任意x∈[-1，1]，恒有-1≤f（x）≤1，
即对任意x∈[-1，1]，恒有|f（x）|≤1．（7分）
（II）证明：由f（x）=ax3-cx可得，
f（1）=a-c，f（）=，
因此f（1）-2f（）=，
由||=|f（1）-2f（）|≤|f（1）|+2|f（）|
又对任意x∈[-1，1]，恒有|f（x）|≤1，
∴||≤3，可得|a|≤4．（14分）