Question

已知函数
（1）求函数y=f（x）与y=g（x）的图象的交点的坐标．
（2）设函数的图象在交点处的切线l₁、l₂，分别为是否存在这样的实数a，使得l₁⊥l₂？若存在，请求出a的值和相应交点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）求函数f（x）在[-1，0）上最小值F（a）．

Answer

（1）令f（x）=g（x）求出x的值，然后代入可求得坐标．
（2）对函数f（x），g（x）分别进行求导，先假设存在这样的a，使得l1⊥l2，对（1）中两个交点分别进行考虑，都应该有g'（x）f'（x）=-1，求出a的值然后代入确定A的坐标．
（3）令f'（x）=0求出x的值，然后结合函数f（x）的单调性比较f（-1）与f（）的大小进而可得到最小值．
【解析】
（i）设交点的坐标为，
解得
故函数y=f（x）与y=g（x）图象的交点的坐标为
（ii）g'（x）=ax，f'（x）=3x2-4ax+a2，若存在a，使得l1⊥l2．
（1）在点处，有，
又，
则，此时点A坐标为
（2）在点A（2a，2a3）处，有g/（2a）f/（2a）=-1，
又g'（2a）•f'（2a）=a•（2a）•（3×4a2-8a2+a2）=10a4，则10a4=-1，无解．
综上，存在
（iii）令，
上式整理得，图象另一交点横坐标
结合图象可得：

（1）若；
（2）若，即时，
（3）若
综上