Question

给定实数a（），设函数f（x）=2x+（1-2a）ln（x+a）（x＞-a，x∈R），f（x）的导数f′（x）的图象为C₁，C₁关于直线y=x对称的图象记为C₂．
（Ⅰ）求函数y=f′（x）的单调区间；
（Ⅱ）对于所有整数a（a≠-2），C₁与C₂是否存在纵坐标和横坐标都是整数的公共点？若存在，请求出公共点的坐标；若不若存在，请说明理由．

Answer

（1）首先求出函数的导数，然后再求出导数函数的导数，即函数的二阶导数，并由此判断函数导数的单调区间；
（2）利用根的存在性定理进行计算．
【解析】
（Ⅰ）设g（x）=f′（x）=，
则g′（x）=，
当a≥时，函数y=f′（x）在区间（-∞，-a]、（-a，∞）上单调递增，
当a＜时，函数y=f′（x）在区间（-∞，-a]、（-a，∞）上单调递减，
∴函数y=f′（x）的单调区间是（-∞，-a]、（-a，∞）．
（Ⅱ）易知C2对应的函数为，
由=，
化简可得（a+2）[x2+（a-2）x-1]=0，
∵a≠-2，
∴依题意知x2+（a-2）x-1=0的两根均为整数，
由x2+（a-2）x-1=0，
有，
又，
∴x=±1
∴a=2，
∴纵坐标和横坐标都是整数的公共点是（1，1）与（-1，-1）．