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如图,给出定点A(a,0)(a>0,a≠1)和直线l:x=-1,B是直线l上的动...

如图,给出定点A(a,0)(a>0,a≠1)和直线l:x=-1,B是直线l上的动点,∠BOA的角平分线交AB于点C.求点C的轨迹方程,并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系.

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欲求点C的轨迹方程,设点C(x,y),只须求出其坐标x,y的关系式即可,由题意知点C到OA、OB距离相等得到一个关系式,化简即得点C的轨迹方程,最后对参数a进行讨论来判断轨迹是什么图形即可. 【解析】 依题意,记B(-1,b)(b∈R),则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=-bx. 设点C(x,y), 则有0≤x<a,由OC平分∠AOB,知点C到OA、OB距离相等. 根据点到直线的距离公式得① 依题设,点C在直线AB上,故有 由x-a≠0,得② 将②式代入①式得, 整理得y2[(1-a)x2-2ax+(1+a)y2]=0. 若y≠0,则(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0<x<a); 若y=0,则b=0,∠AOB=π,点C的坐标为(0,0),满足上式. 综上得点C的轨迹方程为(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0≤x<a) 因为a≠0,所以 由此知,当0<a<1时,方程③表示椭圆弧段; 当a>1时,方程③表示双曲线一支的弧段;
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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