Question

奇函数f（x）=ax³+bx²+cx的图象E过点两点．
（1）求f（x）的表达式；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若方程f（x）+m=0有三个不同的实根，求m的取值范围．

Answer

（1）用待定系数法求函数解析式，由f（x）是奇函数和A、B两点在图象上列出三个方程，解出a、b、c
（2）求导，利用导数方法求单调区间
（3）将方程f（x）+m=0有三个不同的实根转化为两图象y=f（x）和y=-m有三个交点，利用数形结合解决
【解析】
（1）∵f（x）=ax3+bx2+ax为奇函数∴f（-x）=-f（x），（x∈R），∴b=0
∴f（x）=ax3+cx
∵图象过点、
∴
∴f（x）=x3-3x（5分）
（2）∵f（x）=x3-3x，∴f'（x）=3x2-3=3（x-1）（x+1）
∴-1＜x＜1时，f'（x）＜0；x＜-1或x＞1时，f′（x）＞0
∴f（x）的增区间是（-∞，-1）和（1，+∞），减区间是（-1，1）（10分）
（3）∵f（-1）=2，f（1）=-2
为使方程f（x）+m=0即f（x）=-m有三个不等根，则-2＜-m＜2，即-2＜m＜2
∴m的取值范围是（-2，2）