Question

已知函数y=g（x）与f（x）=log_a^（x+1）（a＞1）的图象关于原点对称．
（1）写出y=g（x）的解析式；
（2）若函数F（x）=f（x）+g（x）+m为奇函数，试确定实数m的值；
（3）当x∈[0，1）时，总有f（x）+g（x）≥n成立，求实数n的取值范围．

Answer

（1）设M（x，y）是函数y=g（x）图象上任意一点，进而可得M（x，y）关于原点的对称点为N的坐标，代入f（x）中进而求得x和y的关系式．
（2）跟函数F（x）为奇函数求得F（-x）=-F（x）代入解析式即可求得m的值．
（3）利用f（x）+g（x）≥n求得，设，只要Q（x）min≥n即可，根据在[0，1）上是增函数进而求得函数的最小值，求得n的范围．
【解析】
（1）设M（x，y）是函数y=g（x）图象上任意一点，
则M（x，y）关于原点的对称点为N（-x，-y）
N在函数f（x）=loga（x+1）的图象上，
∴-y=loga（-x+1）
（2）∵F（x）=loga（x+1）-loga（1-x）+m为奇函数．
∴F（-x）=-F（x）
∴loga（1-x）-loga（1+x）+m=-loga（1+x）+loga（1-x）-m
∴，∴
（3）由
设，由题意知，只要Q（x）min≥n即可
∵在[0，1）上是增函数
∴n≤0