Question

已知f（x）=x²-x+c定义在区间[0，1]上，x₁、x₂∈[0，1]，且x₁≠x₂，
求证：
（1）f（0）=f（1）；
（2）|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₁-x₂|；
（3）|f（x₁）-f（x₂）|＜．

Answer

（1）直接计算f（0）和f（1）即可；
（2）由于|f（x2）-f（x1）|=|x2-x1||x2+x1-1|．故只要证明|x2+x1-1|＜1即可；
（3）将|f（x2）-f（x1）|=|f（x2）-f（1）+f（0）-f（x1）|，再利用绝对值不等式的性质进行放缩即得．
证明：（1）f（0）=c，f（1）=c，
∴f（0）=f（1）．
（2）|f（x2）-f（x1）|=|x2-x1||x2+x1-1|．
∵0≤x1≤1，∴0≤x2≤1，0＜x1+x2＜2（x1≠x2）．
∴-1＜x1+x2-1＜1．
∴|f（x2）-f（x1）|＜|x2-x1|．
（3）不妨设x2＞x1，由（2）知
|f（x2）-f（x1）|＜x2-x1．①
而由f（0）=f（1），从而
|f（x2）-f（x1）|=|f（x2）-f（1）+f（0）-f（x1）|≤|f（x2）-f（1）|+|f（0）-
f（x1）|＜|1-x2|+|x1|＜1-x2+x1．②
①+②得2|f（x2）-f（x1）|＜1，
即|f（x2）-f（x1）|＜．