Question

（1）已知|a|＜1，|b|＜1，求证：||＞1；
（2）求实数λ的取值范围，使不等式||＞1对满足|a|＜1，|b|＜1的一切实数a、b恒成立；
（3）已知|a|＜1，若||＜1，求b的取值范围．

Answer

（1）用综合法，首先化简|1-ab|2-|a-b|2可得，|1-ab|2-|a-b|2=1+a2b2-a2-b2=（a2-1）（b2-1）；结合题意中|a|＜1，|b|＜1，可得a、b的范围，进而可得|1-ab|2-|a-b|2＞0，由不等式的性质，可得答案；
（2）根据题意，将||＞1转化为分式，可得|＞1⇔（a2λ2-1）（b2-1）＞0，由于|b|＜1，则b2-1＞0，即只需a2λ2-1＞0即可，分a=0与a≠0两种情况讨论，可得答案；
（3）根据题意，可得||＜1⇔（a2-1）（b2-1）＜0，结合题意|a|＜1，可得a2＜1，即只需1-b2＞0，解可得答案．
【解析】
（1）证明：|1-ab|2-|a-b|2=1+a2b2-a2-b2=（a2-1）（b2-1）．
∵|a|＜1，|b|＜1，
∴a2-1＜0，b2-1＜0．
∴|1-ab|2-|a-b|2＞0．
∴|1-ab|＞|a-b|，=＞1．

（2）【解析】
∵||＞1⇔|1-abλ|2-|aλ-b|2=（a2λ2-1）（b2-1）＞0．
∵b2＜1，
∴a2λ2-1＜0对于任意满足|a|＜1的a恒成立．
当a=0时，a2λ2-1＜0成立；
当a≠0时，要使λ2＜对于任意满足|a|＜1的a恒成立，而＞1，
∴|λ|≤1．故-1≤λ≤1．
（3）||＜1⇔（）2＜1⇔（a+b）2＜（1+ab）2⇔a2+b2-1-a2b2＜0⇔（a2-1）（b2-1）＜0．
∵|a|＜1，
∴a2＜1．
∴1-b2＞0，
即-1＜b＜1．