Question

设x₁、x₂、y₁、y₂是实数，且满足x₁²+x₂²≤1，证明不等式（x₁y₁+x₂y₂-1）²≥（x₁²+x₂²-1）（y₁²+y₂²-1）．

Answer

原不等式即为（x1y1+x2y2-1）2-（x12+x22-1）（y12+y22-1）≥0，由此联想到根的判别式而构造一元二次方程：（x12+x22-1）x-2（x1y1+x2y2-1）x+（y12+y22-1）=0，实现问题的转化，从而使不等式得到证明．
证明：（1）当x12+x22=1时，原不等式成立．
（2）当x12+x22＜1时，联想根的判别式，可构造函数f（x）=（x12+x22-1）x-2（x1y1+x2y2-1）x+（y12+y22-1），其根的判别式△=4（x1y1+x2y2-1）2-4（x12+x22-1）（y12+y22-1）．
由题意x12+x22＜1，函数f（x）的图象开口向下．
又∵f（1）=x12+x22-2x1y1-2x2y2+y12+y22=（x1-y1）2+（x2-y2）2≥0，
因此抛物线与x轴必有公共点．
∴△≥0．
∴4（x1y1+x2y2-1）2-4（x12+x22-1）（y12+y22-1）≥0，
即（x1y1+x2y2-1）2≥（x12+x22-1）（y12+y22-1）．