设函数f（x）=x2+bln（x+1），（1）若对定义域的任意x，都有f（x）...

设函数f（x）=x²+bln（x+1），
（1）若对定义域的任意x，都有f（x）≥f（1）成立，求实数b的值；
（2）若函数f（x）在定义域上是单调函数，求实数b的取值范围．

（1）根据对定义域的任意x，都有f（x）≥f（1）成立知函数f（x）在定义域内的最小值为f（1），从而得到f′（1）=0即可（2）要求函数f（x）在定义域上是单调函数，即要求f′（x）≥0或f′（x）≤0在（-1，+∞）上恒成立，然后分类讨论：当f′（x）≥0时，即2x2+2x+b≥0在（-1，+∞）上恒成立，即b≥-2x2-2x=恒成立；当f′（x）≤0时，2x2+2x+b≤0，即b≤-（2x2+2x）恒成立，因-（2x2+2x）在（-1，+∞）上没有最小值，故不符合题意【解析】（1）由x+1＞0得x＞-1 ∴f（x）的定义域为（-1，+∞），对x∈（-1，+∞），都有f（x）≥f（1）， ∴f（1）是函数f（x）的最小值，故有f′（1）=0，，∴，解得b=-4．（2）∵，又函数f（x）在定义域上是单调函数， ∴f′（x）≥0或f′（x）≤0在（-1，+∞）上恒成立．若f′（x）≥0， ∵x+1＞0， ∴2x2+2x+b≥0在（-1，+∞）上恒成立，即b≥-2x2-2x=恒成立，由此得b≥；若f′（x）≤0， ∵x+1＞0， ∴2x2+2x+b≤0，即b≤-（2x2+2x）恒成立，因-（2x2+2x）在（-1，+∞）上没有最小值， ∴不存在实数b使f（x）≤0恒成立．综上所述，实数b的取值范围是．故答案为：（1）b=-4；（2）实数b的取值范围是．

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考点分析：

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