已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞2x的解集为（-1，3）...

已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞2x的解集为（-1，3）．
（Ⅰ）若方程f（x）=-7a有两个相等的实数根，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数g（x）=xf（x）在区间 manfen5.com 满分网

内单调递减，求a的取值范围．

（1）依据不等式f（x）＞2x的解集为（-1，3），可设函数f（x）-2x的解析式为（x）-2x=a（x+1）（x-3），得出f（x）的解析式．再利用f（x）=-7a有两个相等的实数根，通过△求出a的值最后代入f（x）即可．（2）根据若函数g（x）区间内单调递减，通过导函数g′（x）＜0，求a的取值范围．【解析】（1）∵f（x）-2x＞0的解集为（-1，3）， ∴可设f（x）-2x=a（x+1）（x-3），且a＜0，因而f（x）=a（x+1）（x-3）+2x=ax2+2（1-a）x-3a① 由f（x）+7a=0得ax2+2（1-a）x+4a=0② ∵方程②有两个相等的根， ∴△=4（1-a）2-16a2=0，即3a2+2a-1=0解得a=-1或由于a＜0，（舍去），将a=-1代入①得f（x）的解析式f（x）=-x2+4x+3．（2）g（x）=xf（x）=ax3+2（1-a）x2-3ax， ∵g（x）在区间内单调递减， ∴g′（x）=3ax2+4（1-a）x-3a在上的函数值非正，由于a＜0，对称轴，故g（x）≤ 注意到a＜0，∴a2+4（1-a）-9≥0，得a≤-1或a≥5（舍去）故所求a的取值范围是（-∞，-1]．

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考点分析：

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