Question

如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2，DC=2，AA₁=，AD⊥DC，AC⊥BD垂足为E．
（Ⅰ）求证BD⊥A₁C；
（Ⅱ）求二面角A₁-BD-C₁的大小；
（Ⅲ）求异面直线AD与BC₁所成角的大小．

Answer

解法一：
（1）在直四棱柱ABCD-AB1C1D1中，由AA1⊥底面ABCD可知：AC是A1C在平面ABCD上的射影．因为BD⊥AC，所以BD⊥A1C；
（2）二面角的度量关键在于作出它的平面角，常用的方法就是三垂线定理．连接A1E，C1E，A1C1．与（I）同理可证BD⊥A1E，BD⊥C1E，所以∠A1EC1为二面角A1-BD-C1的平面角；
（3）求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求．还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解．本题采用的是“几何法”：过B作BF∥AD交AC于F，连接FC1，则∠C1BF就是AD与BC1所成的角．
解法二：
（1）同解法一；
（2）以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．连接A1E，C1E，A1C1，与（1）同理可证，BD⊥A1E，BD⊥C1E，所以∠A1EC1为二面角A1-ED-C1的平面角．因为⊥，所以EA1⊥EC1．则二面角A1-ED-C1的大小为90°．
解法三：
（1）同解法一；
（2）建立空间直角坐标系，坐标原点为E．连接A1E，C1E，A1C1．与（Ⅰ）同理可证BD⊥A1E，BD⊥C1E，所以∠A1EC1为二面角A1-BD-C1的平面角．由E（0，0，0）A1（0，-1，），C1（0，3，）．因为⊥，所以EA1⊥EC1．则二面角A1-ED-C1的大小为90°．
解法二、三都是用的“向量法”，只是空间直角坐标系建立的位置不同，这样各个点的坐标也会随之改变．这种解法的好处就是：（1）解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．（2）即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．
【解析】
法一：
（I）在直四棱柱ABCD-AB1C1D1中，
∵AA1⊥底面ABCD．∴AC是A1C在平面ABCD上的射影．
∵BD⊥AC．∴BD⊥A1C；
（II）连接A1E，C1E，A1C1．
与（I）同理可证BD⊥A1E，BD⊥C1E，
∴∠A1EC1为二面角A1-BD-C1的平面角．
∵AD⊥DC，∴∠A1D1C1=∠ADC=90°，
又A1D1=AD=2，D1C1=DC=2，AA1=且AC⊥BD，
∴A1C1=4，AE=1，EC=3，∴A1E=2，C1E=2，
在△A1EC1中，A1C12=A1E2+C1E2，∴∠A1EC1=90°，
即二面角A1-BD-C1的大小为90°．

（III）过B作BF∥AD交AC于F，连接FC1，
则∠C1BF就是AD与BC1所成的角．
∵AB=AD=2，BD⊥AC，AE=1，
∴BF=2，EF=1，FC=2，BC=DC，∴FC1=，BC1=，
在△BFC1中，cos∠C1BF==，∴∠C1BF=arccos
即异面直线AD与BC1所成角的大小为arccos．
法二：
（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．

连接A1E，C1E，A1C1．
与（1）同理可证，BD⊥A1E，BD⊥C1E，
∴∠A1EC1为二面角A1-ED-C1的平面角．
由A1（2，0，）C1（0，2，）E（，，0）
得=（，-，），=（-，，）
∴•=--+3=0，
∴⊥，即EA1⊥EC1．
∴二面角A1-ED-C1的大小为90°
（Ⅲ）如图，由D（0，0，0），A（2，0，0），C1（0，2，），B（3，，0），
得=（-2，0，0），=（-3，，），
∴•=6，||•=6，||=2，||=
∴cos（，）===，
∵异面直线AD与BC1所成角的大小为arccos．
法三：
（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系，坐标原点为E．连接A1E，C1E，A1C1．

与（Ⅰ）同理可证BD⊥A1E，BD⊥C1E，
∴∠A1EC1为二面角A1-BD-C1的平面角．
由E（0，0，0）A1（0，-1，），C1（0，3，）．
得（0，-1，），=（0，3，）．
∵•=-3+3=0，
∴⊥即EA1⊥EC1，
∴二面角A1-BD-C1的大小为90°．