满分5 > 高中数学试题 >

如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,DC=2,AA1=...

如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,DC=2manfen5.com 满分网,AA1=manfen5.com 满分网,AD⊥DC,AC⊥BD垂足为E.
(Ⅰ)求证BD⊥A1C;
(Ⅱ)求二面角A1-BD-C1的大小;
(Ⅲ)求异面直线AD与BC1所成角的大小.

manfen5.com 满分网
解法一: (1)在直四棱柱ABCD-AB1C1D1中,由AA1⊥底面ABCD可知:AC是A1C在平面ABCD上的射影.因为BD⊥AC,所以BD⊥A1C; (2)二面角的度量关键在于作出它的平面角,常用的方法就是三垂线定理.连接A1E,C1E,A1C1.与(I)同理可证BD⊥A1E,BD⊥C1E,所以∠A1EC1为二面角A1-BD-C1的平面角; (3)求异面直线所成的角,一般有两种方法,一种是几何法,其基本解题思路是“异面化共面,认定再计算”,即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中,结合余弦定理来求.还有一种方法是向量法,即建立空间直角坐标系,利用向量的代数法和几何法求解.本题采用的是“几何法”:过B作BF∥AD交AC于F,连接FC1,则∠C1BF就是AD与BC1所成的角. 解法二: (1)同解法一; (2)以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系.连接A1E,C1E,A1C1,与(1)同理可证,BD⊥A1E,BD⊥C1E,所以∠A1EC1为二面角A1-ED-C1的平面角.因为⊥,所以EA1⊥EC1.则二面角A1-ED-C1的大小为90°. 解法三: (1)同解法一; (2)建立空间直角坐标系,坐标原点为E.连接A1E,C1E,A1C1.与(Ⅰ)同理可证BD⊥A1E,BD⊥C1E,所以∠A1EC1为二面角A1-BD-C1的平面角.由E(0,0,0)A1(0,-1,),C1(0,3,).因为⊥,所以EA1⊥EC1.则二面角A1-ED-C1的大小为90°. 解法二、三都是用的“向量法”,只是空间直角坐标系建立的位置不同,这样各个点的坐标也会随之改变.这种解法的好处就是:(1)解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理,因为这些可以用向量方法来解决.(2)即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出,因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可. 【解析】 法一: (I)在直四棱柱ABCD-AB1C1D1中, ∵AA1⊥底面ABCD.∴AC是A1C在平面ABCD上的射影. ∵BD⊥AC.∴BD⊥A1C; (II)连接A1E,C1E,A1C1. 与(I)同理可证BD⊥A1E,BD⊥C1E, ∴∠A1EC1为二面角A1-BD-C1的平面角. ∵AD⊥DC,∴∠A1D1C1=∠ADC=90°, 又A1D1=AD=2,D1C1=DC=2,AA1=且AC⊥BD, ∴A1C1=4,AE=1,EC=3,∴A1E=2,C1E=2, 在△A1EC1中,A1C12=A1E2+C1E2,∴∠A1EC1=90°, 即二面角A1-BD-C1的大小为90°. (III)过B作BF∥AD交AC于F,连接FC1, 则∠C1BF就是AD与BC1所成的角. ∵AB=AD=2,BD⊥AC,AE=1, ∴BF=2,EF=1,FC=2,BC=DC,∴FC1=,BC1=, 在△BFC1中,cos∠C1BF==,∴∠C1BF=arccos 即异面直线AD与BC1所成角的大小为arccos. 法二: (Ⅰ)同解法一 (Ⅱ)如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系. 连接A1E,C1E,A1C1. 与(1)同理可证,BD⊥A1E,BD⊥C1E, ∴∠A1EC1为二面角A1-ED-C1的平面角. 由A1(2,0,)C1(0,2,)E(,,0) 得=(,-,),=(-,,) ∴•=--+3=0, ∴⊥,即EA1⊥EC1. ∴二面角A1-ED-C1的大小为90° (Ⅲ)如图,由D(0,0,0),A(2,0,0),C1(0,2,),B(3,,0), 得=(-2,0,0),=(-3,,), ∴•=6,||•=6,||=2,||= ∴cos(,)===, ∵异面直线AD与BC1所成角的大小为arccos. 法三: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)如图,建立空间直角坐标系,坐标原点为E.连接A1E,C1E,A1C1. 与(Ⅰ)同理可证BD⊥A1E,BD⊥C1E, ∴∠A1EC1为二面角A1-BD-C1的平面角. 由E(0,0,0)A1(0,-1,),C1(0,3,). 得(0,-1,),=(0,3,). ∵•=-3+3=0, ∴⊥即EA1⊥EC1, ∴二面角A1-BD-C1的大小为90°.
复制答案
考点分析:
相关试题推荐
已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a.
(I)求f(x)的单调递减区间;
(Ⅱ)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.
查看答案
已知n次多项式Pn(x)=axn+a1xn-1+…+an-1x+an
如果在一种算法中,计算xk(k=2,3,4,…,n)的值需要k-1次乘法,计算P3(x)的值共需要9次运算(6次乘法,3次加法),那么计算Pn(x)的值共需要    次运算.
下面给出一种减少运算次数的算法:P(x)=a.Pn+1(x)=xPn(x)+ak+1(k=0,l,2,…,n-1).利用该算法,计算P3(x)的值共需要6次运算,计算Pn(x)的值共需要    次运算. 查看答案
设函数f(x)=2x,对于任意的x1,x2(x1≠x2),有下列命题
①f(x1+x2)=f(x1)•f(x2);②f=f(x1)+f(x2);③manfen5.com 满分网;④manfen5.com 满分网.其中正确的命题序号是     查看答案
过原点作曲线y=ex的切线,则切点的坐标为     ,切线的斜率为     查看答案
manfen5.com 满分网展开式中的常数项是    查看答案
试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

Copyright @ 2008-2019 满分5 学习网 ManFen5.COM. All Rights Reserved.