Question

设数列{a_n}的首项a₁≠，且a_n+1=，记b_n=a_2n-1-，n=1，2，3…
（Ⅰ）求a₂，a₃；
（Ⅱ）判断数列{b_n}是否为等比数列，并证明你的结论；
（Ⅲ）求（b₁+b₂+…+b_n）

Answer

（I）根据题设条件，分别令n=1，2，能够求出a2和a3．
（II）由a4=a3+=a+，知a5=a4=a+，所以b1=a1-=a-，b2=a3-=（a-），b3=a5-=（a-），猜想：{bn}是公比为的等比数列．再用题设条件进行证明．
（III）（b1+b2+…+bn）==，由此能求出其结果．
【解析】
（I）a2=a1+=a+，a3=a2=a+；
（II）∵a4=a3+=a+，所以a5=a4=a+，
所以b1=a1-=a-，b2=a3-=（a-），b3=a5-=（a-），
猜想：{bn}是公比为的等比数列•
证明如下：
因为bn+1=a2n+1-=a2n-=（a2n-1-）=bn，（n∈N*）
所以{bn}是首项为a-，公比为的等比数列．
（III）（b1+b2+…+bn）===2（a-）．