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已知函数. (1)若x=1为f(x)的极值点,求a的值; (2)若y=f(x)的...

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(1)若x=1为f(x)的极值点,求a的值;
(2)若y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为x+y-3=0,
(i)求f(x)在区间[-2,4]上的最大值;
(ii)求函数G(x)=[f'(x)+(m+2)x+m]e-x(m∈R)的单调区间.
(1)求出f(x)的导函数,因为x=1是函数的极值点,把x=1代入导函数得到导函数的值为0,列出关于a的方程,求出方程的解即可得到a的值; (2)把x=1代入切线方程即可求出f(1)的值即可得到切点坐标,然后把切点坐标f(x)中得到关于a与b的关系式,同时把x=1代入到导函数中求出的值即为切线方程的斜率,而切线方程的斜率为-1,又得到关于a的关系式,求出a的值,把a的值代入前面的关系式中得到b的值,即可得到f(x)和导函数的解析式,(i)令导函数等于0得到f(x)的极值点,同时-2和4也为函数的极值点,把四个极值点分别代入到f(x)的解析式中即可得到f(x)的最大值;(ii)把f(x)的导函数代入G(x)的解析式中确定出G(x)的解析式,并求出G(x)的导函数,令导函数等于0,得到相应的x的值,然后利用x的值,由m大于2和小于2两种情况讨论导函数大于0即可相应x的范围即为函数的增区间;导函数小于0即可求出相应x的范围即为函数的减区间. 【解析】 (1)f'(x)=x2-2ax+a2-1. ∵x=1是极值点∴f'(1)=0,即a2-2a=0∴x=0或2. (2)∵(1,f(1))在x+y-3=0上.∴f(1)=2 ∵(1,2)在y=f(x)上∴ 又f'(1)=k=-1,∴1-2a+a2-1=-1 ∴ ∴. (i)由f'(x)=0可知x=0和x=2是f(x)的极值点. ∵, ∴f(x)在区间[-2,4]上的最大值为8. (ii)G(x)=(x2+mx+m)e-x,得到G'(x)=(2x+m)e-x-e-x(x2+mx+m)=e-x[-x2+(2-m)x] 令G'(x)=0,得x=0,x=2-m 当m=2时,G'(x)≤0,此时G(x)在(-∞,+∞)单调递减 当m>2时: 当时G(x)在(-∞,2,-m),(0,+∞)单调递减,在(2-m,0)单调递增. 当m<2时: 此时G(x)在(-∞,0),(2-m+∞)单调递减,在(0,2-m)单调递增, 综上所述:当m=2时,G(x)在(-∞,+∞)单调递减; m>2时,G(x)在(-∞,2-m),(0,+∞)单调递减,在(2-m,0)单调递增; m<2时,G(x)在(-∞,0),(2-m,+∞)单调递减,在(0,2-m)单调递增.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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