Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=AA₁=2，M、N分别是A₁C₁、BC₁的中点．
（I）求证：BC₁⊥平面A₁B₁C；
（II）求证：MN∥平面A₁ABB₁．

Answer

（I）欲证B1C⊥平面A1B1C，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证B1C与平面A1B1C内两相交直线垂直，根据线面垂直的性质知A1B1⊥BC1，连接B1C，得BC1⊥B1C，结论得证；
（II）欲证MN∥平面A1ABB1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证MN与平面A1ABB1内一直线平行即可，连接A1B，由M、N分别为A1C1、BC1的中点可得MN∥A1B．
【解析】
（I）∵直三棱柱ABC-A1B1C1，∴B1B⊥面A1B1C1．
∴B1B⊥A1B1．
又∵A1B1⊥B1C1，∴A1B1⊥面BCC1B1．
∴A1B1⊥BC1，
连接B1C，∵矩形BCC1B1中，BB1=CB=2，
∴BC1⊥B1C，∴B1C⊥平面A1B1C．
（II）连接A1B，由M、N分别为A1C1、BC1的中点可得，
MN∥A1B又∵A1B1⊂平面A1ABB1，MN⊄平面A1ABB1，
∴MN∥平面A1ABB1．