Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC=PD=2，E为PC的中点，．
（I）求证：PC⊥BC；
（II）求三棱锥C-DEG的体积；
（III）AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG．若存在，求AM的长；否则，说明理由．

Answer

（I）由PD⊥BC，BC⊥CD，推出BC⊥平面PCD，从而证明 PC⊥BC．
（II）由GC是三棱锥G-DEC的高，三棱锥C-DEG的体积和三棱锥G-DEC的体积相等，
通过求三棱锥G-DEC的体积得到三棱锥C-DEG的体积．
（III）连接AC，取AC中点O，连接EO、GO，延长GO交AD于点M，则PA∥平面MEG，由三角形相似可得 ．
【解析】
（I）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，（1分）
又∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD，（2分）∵PDICE=D，
∴BC⊥平面PCD，又∵PC⊂面PBC，∴PC⊥BC．（4分）
（II）【解析】
∵BC⊥平面PCD，
∴GC是三棱锥G-DEC的高．（5分）
∵E是PC的中点，∴．（6分）
∴．（8分）
（III）连接AC，取AC中点O，连接EO、GO，延长GO交AD于点M，则PA∥平面MEG．（9分）
下面证明之：
∵E为PC的中点，O是AC的中点，∴EO∥平面PA，（10分）
又∵EO⊂平面MEG，PA⊄平面MEG，∴PA∥平面MEG，（11分）
在正方形ABCD中，∵O是AC中点，∴△OCG≌△OAM，
∴，∴所求AM的长为 ． （12分）