Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点（a_n+2，S_n+1）在直线y=4x-5上，其中n∈N^*．令b_n=a_n+1-2a_n．且a₁=1．求数列{b_n}的通项公式；若f（x）=b₁x+b₂x²+b₃x³+…+b_nxⁿ，计算f′（1）的结果．

Answer

（1）把点的坐标代入到直线解析式中得到sn+1，推出sn，相减得到an+1=4an-4an-1∴an+1-2an=2（an-2an-1）（n≥2）根据bn=an+1-2an．且a1=1得到{bn}是公比为2的等比数列写出通项公式即可；
（2）因为f（x）=b1x+b2x2+b3x3+…+bnxn，求出f′（x），则f′（1）=b1+2b2+…+nbn，由（1）知f′（1）是{n•2n+1}的前n项和，利用错位相减法得到即可．
【解析】
（1）依题意可得sn+1=4（an+2）-5=4an+3
∴当n≥2时，sn=4an-1+3，
两式相减得an+1=4an-4an-1∴an+1-2an=2（an-2an-1）（n≥2）即bn=2bn-1（n≥2）
∴{bn}是公比为2的等比数列，又b1=a2-2a1=4
∴bn=4•2n-1=2n+1
（2）f（x）=b1x+b2x2+…+bnxn
∴f′（x）=b1+2b2x+…+nbnxn-1
∴f′（1）=b1+2b2+…+nbn
由（1）解知f′（1）=22+2•23+3•24+…+n•2n+1
∴f′（1）是{n•2n+1}的前n项和，
错位相减法得f′（1）=4+（n-1）•2n+2