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对于各项均为整数的数列{an},如果满足ai+i(i=1,2,3,…)为完全平方...

对于各项均为整数的数列{an},如果满足ai+i(i=1,2,3,…)为完全平方数,则称数列{an}具有“P性质”;
不论数列{an}是否具有“P性质”,如果存在与{an}不是同一数列的{bn},且{bn}同时满足下面两个条件:①b1,b2,b3,…,bn是a1,a2,a3,…,an的一个排列;②数列{bn}具有“P性质”,则称数列{an}具有“变换P性质”.
(Ⅰ)设数列{an}的前n项和manfen5.com 满分网,证明数列{an}具有“P性质”;
(Ⅱ)试判断数列1,2,3,4,5和数列1,2,3,…,11是否具有“变换P性质”,具有此性质的数列请写出相应的数列{bn},不具此性质的说明理由;
(Ⅲ)对于有限项数列A:1,2,3,…,n,某人已经验证当n∈[12,m2](m≥5)时,数列A具有“变换P性质”,试证明:当n∈[m2+1,(m+1)2]时,数列A也具有“变换P性质”.
(Ⅰ)由题意知an=n2-n(n∈N*).所以ai+i=i2(i=1,2,3,)是完全平方数,数列{an}具有“P性质”. (Ⅱ)由题设条件知:数列1,2,3,4,5具有“变换P性质”,数列{bn}为3,2,1,5,4.数列1,2,3,,11不具有“变换P性质”.以数列1,2,3,,11不具有“变换P性质”. (Ⅲ)设n=m2+j,1≤j≤2m+1,令h=4m+4-j-1,则h∈[12,m2].由此可知当n∈[m2+1,(m+1)2]时,数列A也具有“变换P性质”. 【解析】 (Ⅰ)当n≥2时,an=Sn-Sn-1(1分)=,(2分) 又a1=0,所以an=n2-n(n∈N*).(3分) 所以ai+i=i2(i=1,2,3,)是完全平方数,数列{an}具有“P性质”.(4分) (Ⅱ)数列1,2,3,4,5具有“变换P性质”,(5分) 数列{bn}为3,2,1,5,4.(6分) 数列1,2,3,,11不具有“变换P性质”.(7分) 因为11,4都只有与5的和才能构成完全平方数, 所以数列1,2,3,,11不具有“变换P性质”.(8分) (Ⅲ)设n=m2+j,1≤j≤2m+1, 注意到(m+2)2-(m2+j)=4m+4-j, 令h=4m+4-j-1, 由于1≤j≤2m+1,m≥5,所以h=4m+4-j-1≥2m+2≥12, 又m2-h=m2-4m-4+j+1≥m2-4m-2,m2-4m-2=(m-2)2-6>0, 所以h<m2, 即h∈[12,m2].(10分) 因为当n∈[12,m2](m≥5)时,数列{an}具有“变换P性质”, 所以1,2,,4m+4-j-1可以排列成a1,a2,a3,,ah,使得ai+i(i=1,2,,h)都是平方数;(11分) 另外,4m+4-j,4m+4-j+1,,m2+j可以按相反顺序排列,即排列为m2+j,,4m+4-j+1,4m+4-j, 使得(4m+4-j)+(m2+j)=(m+2)2,(4m+4-j+1)+(m2+j-1)=(m+2)2,,(12分) 所以1,2,,4m+4-j-1,4m+4-j,,m2-1+j,m2+j 可以排成a1,a2,a3,,ah,m2+j,,4m+4-j满足ai+i(i=1,2,,m2+j)都是平方数.(13分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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