Question

如图，设平面AC和BD相交于BC，它们所成的一个二面角为45°，P为平面AC内的一点，Q为面BD内的一点，已知直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，并且M在BC上又设PQ与平面BD所成的角为β，∠CMQ=θ（0°＜θ＜90°），线段PM的长为a，求线段PQ的长．

Answer

过点P作平面BD的垂线，垂足为R，由PQ与平面BD所成的角为β，要求PQ，可根据，故我们要先求PR值，而由二面角的平面角为45°，我们可得NR=PR，故我们要先根据MR=，及a2=PR2+MR2，求出NR的值．
【解析】
自点P作平面BD的垂线，垂足为R，
由于直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，
所以R在MQ上，过R作BC的垂线，设垂足为N，
则PN⊥BC（三垂线定理
因此∠PNR是所给二面角的平面角，所以∠PNR=45°
由于直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影，所以∠PQR=β
在Rt△PNR中，NR=PRcot45°，所以NR=PR．
在Rt△MNR中，MR=，
在Rt△PMR中，，
又已知0°＜θ＜90°，所以．
在Rt△PRQ中，．
故线段PQ的长为．