Question

设，
（1）证明不等式对所有的正整数n都成立；
（2）设，用定义证明

Answer

（1）考虑an和式的通项，先对其进行放缩，结合数列的求和公式即可证得；
（2）欲用定义证明即证对任意指定的正数ε，要使．
证：（1）由不等式
对所有正整数k成立，把它对k从1到n（n≥1）求和，
得到1+2+3+…+n＜an＜
又因1+2+3+…+n=，以及
＜[1+3+5+…+（2n+1）]=，

对所有的正整数n都成立．
（2）由（1）及bn的定义知
对任意指定的正数ε，要使，
只要使，即只要使
取N是的整数部分，则数列bn的第N项以后所有的项都满足
根据极限的定义，证得