Question

如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点为A（0，），且离心率等于，过点M（0，2）且斜率为k的直线l与椭圆相交于P，Q不同两点（与点B不重合），椭圆与x轴的正半轴相交于点B．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若，求直线l的方程．

Answer

（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，由题设条件求出b2和a2，由此可以求出椭圆的标准方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+2，与椭圆方程联立消去y得（1+4k2）x2+16kx+8=0，依题意有△=（16k）2-4×（1+4k2）×8＞0，由此解得或．设P（x1，y1），Q（x2，y2），再由根与系数和关系和，能够求出直线l的方程．
【解析】
（Ⅰ）设椭圆的标准方程为（1分）
因为它的一个顶点为A（0，），所以b2=2，由离心率等于，
得=，解得a2=8，
所以椭圆的标准方程为（4分）
（Ⅱ）由已知设直线l的方程为y=kx+2，与椭圆方程联立消去y得（1+4k2）x2+16kx+8=0，
依题意有△=（16k）2-4×（1+4k2）×8＞0，解得或（2分）
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，
且，由
得（2分）
于是，
整理得，
解得或，又，
但时，此时点Q与点B重合，舍去，所以直线l的方程是（3分）