Question

双曲线kx²-y²=1，右焦点为F，斜率大于0的渐近线为l，l与右准线交于A，FA与左准线交于B，与双曲线左支交于C，若B为AC的中点，求双曲线方程．

Answer

由题设条件求出A（，），B（-，）．由B是AC中点，知xC=2xB-xA=-，yC=2yB-yA=．
将xC、yC代入方程kx2-y2=1，得k2c4-10kc2+25=0．求出k的值，从而得到双曲线方程．
【解析】
由题意k＞0，c=，
渐近线方程l为y=x，
准线方程为x=±，于是A（，），
直线FA的方程为y=，
于是B（-，）．
由B是AC中点，则xC=2xB-xA=-，
yC=2yB-yA=．
将xC、yC代入方程kx2-y2=1，得
k2c4-10kc2+25=0．
解得k（1+）=5，则k=4．
所以双曲线方程为：4x2-y2=1．