Question

已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形，PD⊥底面ABCD，PD=6，M，N分别为PB，AB的中点，设AC和BD相交于点O
（Ⅰ）证明：OM∥底面PAD；
（Ⅱ）若DF⊥PA且交PA于F点，证明DF⊥平面PAB；
（Ⅲ）求四面体D-MNB的体积

Answer

（Ⅰ）要证明：OM∥底面PAD，只要证明OM∥PD即可．
（Ⅱ）要证明DF⊥平面PAB；已知DF⊥PA，证明DF⊥AB即可．
（Ⅲ）求四面体D-MNB的体积，直接求出底面MNB的面积，再求D到底面MNB的距离即可．
【解析】
（Ⅰ）由已知易知OM是△BDP的中位线，
∴OM∥PD．
∵OM⊄面PAD，PD⊂面PAD
∴OM∥面PAD
（另证：也可先证明平面OMN∥平面DPA）
（Ⅱ）PD⊥底面ABCD，
∴AB⊥PD，又AB⊥AD，、AD∩PD=D，
∴AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，
∴平面PAD⊥平面PAB，
又平面PAD∩平面PAB=PA，DF⊥PA，DF⊂平面PAD，
∴DF⊥平面PAB
（Ⅲ）由（Ⅱ）知DF⊥平面PAB，
∴四面体D-MNB的高为DF，
在Rt△PDA中，DF=，
由AB⊥平面PAD，得AB⊥PA，又MN∥PA，
∴MN⊥NB，，
=，=．