Question

给定两个函数解决如下问题：
（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极值，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）在区间（2，+∞）为增函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若关于x的方程f（x）-g（x）=0有三个不同的根，求m的取值范围．

Answer

（1）先根据f（x）在x=1处取得极值求出m的值，再讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定单调性；
（2）由f（x）在区间（2，+∞）为增函数可转化成f′（x）＞0在区间（2，+∞）上恒成立，化简整理即可求出m的范围；
（3）欲使方程f（x）-g（x）=0有三个不同的根，即函数h（x）=f（x）-g（x）与x轴有三个不同的交点，建立不等关系，求出m的范围．
【解析】
（Ⅰ）f'（x）=x2-（m+1）x，
因为f（x）在x=1处取得极值，所以f'（1）=12-（m+1）=0，
所以m=0
故f（x）=（1分）
所以f'（x）=x2-x，
由f'（x）=x2-x=0
解得x=1或x=0
当x∈（-∞，0）时，f'（x）＞0；
当x∈（0，1）时，f'（x）＜0；
当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0
故函数的单调增区间是（-∞，0），（1，+∞）；单调递减区间是（0，1）（3分）
（Ⅱ）f'（x）=x2-（m+1）x，
因为f（x）在区间（2，+∞）为增函数，
所以x2-（m+1）x≥0在区间（2，+∞）上恒成立，即m+1≤x恒成立（5分）
由于x＞2，
所以m+1≤2，故m≤1．
当m=1时，f'（x）=x2-2x在x∈（2，+∞）恒大于0，
故f（x）在（2，+∞）上单调递增，符合题意．
所以m的取值范围m≤1（7分）
（Ⅲ）设，
故h'（x）=（x-m）（x-1）．
令h'（x）=（x-m）（x-1）=0，
得x=m或x=1，
由（Ⅱ）知m≤1①
当m=1时，h'（x）=（x-1）2≥0，h（x）在R上是单调递增，显然不合题意（9分）
②当m＜1时，h（x）h'（x）随x的变化情况如下表：（11分）
欲使方程f（x）-g（x）=0有三个不同的根，即函数h（x）=f（x）-g（x）与x轴有三个不同的交点，由该三次函数图象可知，，∴，
解得
综上所述，m（12分）