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如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱SD⊥底面ABCD,E、...

如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱SD⊥底面ABCD,E、F分别是AB、SC的中点
(1)求证:EF∥平面SAD
(2)设SD=2CD,求二面角A-EF-D的大小.manfen5.com 满分网

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法一:(1)作FG∥DC交SD于点G,则G为SD的中点. 要证EF∥平面SAD,只需证明EF平行平面SAD内的直线AG即可. (2)取AG中点H,连接DH,说明∠DMH为二面角A-EF-D的平面角,解三角形求二面角A-EF-D的大小. 法二:建立空间直角坐标系,平面SAD即可证明(1); (2)求出向量和,利用,即可解答本题. 【解析】 法一: (1)作FG∥DC交SD于点G,则G为SD的中点. 连接,又, 故为平行四边形.EF∥AG,又AG⊂平面SAD,EF⊄平面SAD. 所以EF∥平面SAD. (2)不妨设DC=2,则SD=4,DG=2,△ADG为等 腰直角三角形. 取AG中点H,连接DH,则DH⊥AG. 又AB⊥平面SAD,所以AB⊥DH,而AB∩AG=A, 所以DH⊥面AEF. 取EF中点M,连接MH,则HM⊥EF. 连接DM,则DM⊥EF. 故∠DMH为二面角A-EF-D的平面角. 所以二面角A-EF-D的大小为. 法二:(1)如图,建立空间直角坐标系D-xyz. 设A(a,0,0),S(0,0,b),则B(a,a,0),C(0,a,0),,. 取SD的中点,则.平面SAD,EF⊄平面SAD, 所以EF∥平面SAD. (2)不妨设A(1,0,0),则B(1,1,0),C(0,1,0),S(0,0,2),,.EF中点,,, 又,, 所以向量和的夹角等于二面角A-EF-D的平面角.. 所以二面角A-EF-D的大小为.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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