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如图,已知椭圆C:manfen5.com 满分网+manfen5.com 满分网=1(a>b>0)的焦点和上顶点分别为F1、F2、B,我们称△F1BF2为椭圆C的特征三角形.如果两个椭圆的特征三角形是相似的,则称这两个椭圆是“相似椭圆”,且三角形的相似比即为椭圆的相似比.
(1)已知椭圆C1manfen5.com 满分网+y2=1和C2manfen5.com 满分网+manfen5.com 满分网=1,判断C2与C1是否相似,如果相似则求出C2与C1的相似比,若不相似请说明理由;
(2)已知直线l:y=x+1,在椭圆Cb上是否存在两点M、N关于直线l对称,若存在,则求出函数f(b)=|MN|的解析式.

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(1)椭圆C2与C1相似.先求得椭圆C2与椭圆C1的特征三角形的腰长和底边长,可发现两特征三角形相似,进而可判断两椭圆相似. (2)先假设存在,得到点M,N的直线方程和中点坐标,然后联立椭圆和直线消去y得到关于y的一元二次方程,根据韦达定理可得到两根之和,即得到MN中点x的值,代入到直线可确定y的值,再由MN的中点在直线上可求得t的值. 【解析】 (1)椭圆C2与C1相似. 因为C2的特征三角形是腰长为4,底边长为2的等腰三角形, 而椭圆C1的特征三角形是腰长为2,底边长为的等腰三角形, 因此两个等腰三角形相似,且相似比为2:1 (2)假定存在,则设M、N所在直线为y=-x+t,MN中点为(x,y). 则∴5x2-8xt+4(t2-b2)=0. 所以x==,y=. 中点在直线y=x+t上,所以有t=-.
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考点分析:
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①a1+c1=a2+c2;②a1-c1=a2-c2;③c1a2>a1c2;④manfen5.com 满分网
其中正确式子的序号是( )
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A.①③
B.②③
C.①④
D.②④
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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