Question

已知数列{a_n}中，a₂=a+2（a为常数），S_n是{a_n}的前n项和，且S_n是na_n与na的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}是首项为1，公比为的等比数列，T_n是{b_n}的前n项和，问是否存在常数a，使a₁₀•T_n＜12恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer

（1）由Sn是nan与na的等差中项，我们易得2Sn=nan+na，进一步得到2Sn-1=nan-1+（n-1）a，由于关系式中即有Sn又有an故可根据an=Sn-Sn-1，将上述公式相减得到数列的递推公式，进一步求出数列的通项公式．
（2）根据已知条件，不难写出数列{bn}的前n项和公式Tn，结合（1）的结论，可构造出一个关于a 的不等式，解不等式，可得满足条件的a的取值范围．
【解析】
（1）由已知得：2Sn=nan+na，
所以当n≥2时2Sn-1=（n-1）an-1+（n-1）a．
两式相减得：2an=nan-（n-1）an-1+a，
整理得：（n-1）an-1=（n-2）an+a．
当n≥3时，上式可化为：
，
于是：．
又，2a1=a1+a⇒a1=a，a2=a+2均满足上式，
故an=2n+a-2（n∈N*）
（2）因为，
所以．
又a10=a+18，所以a10•Tn＜12
可化为，
整理得：．
令，
则当n为奇数时，；
当n为偶数时，．
所以，，
故．
故存在常数a，使a10•Tn＜12恒成立，
其范围是（-∞，-6）．