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已知定义在R上的函数f(x)和数列{an}满足下列条件:a1=a,a2≠a1,当...

已知定义在R上的函数f(x)和数列{an}满足下列条件:a1=a,a2≠a1,当n∈N*且n≥2时,an=f(an-1)且f(an)-f(an-1)=k(an-an-1).
其中a、k均为非零常数.
(1)若数列{an}是等差数列,求k的值;
(2)令bn=an+1-an(n∈N*),若b1=1,求数列{bn}的通项公式;
(3)试研究数列{an}为等比数列的条件,并证明你的结论.
(1)由题意知an=f(an-1),f(an)-f(an-1)=k(an-an-1)(n=2,3,4,),得an+1-an=f(an)-f(an-1)=k(an-an-1)(n=2,3,4,),由此可知an-an-1=k(an-an-1),(n=2,3,4,),得k=1. (2)由b1=a2-a1≠0,知b2=a3-a2=f(a2)-f(a1)=k(a2-a1)≠0.因此bn=an+1-an=f(an)-f(an-1)=k(an-an-1)═kn-1(a2-a1)≠0,由此可知数列{bn}是一个公比为k的等比数列. (3){an}是等比数列的充要条件是f(x)=kx(k≠1);先进行充分性证明:若f(x)=kx(k≠1),则{an}是等比数列.再进行必要性证明:若{an}是等比数列,f(x)=kx(k≠1). 【解析】 (1)由已知an=f(an-1),f(an)-f(an-1)=k(an-an-1)(n=2,3,4,),得an+1-an=f(an)-f(an-1)=k(an-an-1)(n=2,3,4,) 由数列{an}是等差数列,得an+1-an=an-an-1(n=2,3,4,) 所以,an-an-1=k(an-an-1),(n=2,3,4,),得k=1.(5分) (2)由b1=a2-a1≠0,可得b2=a3-a2=f(a2)-f(a1)=k(a2-a1)≠0. 且当n>2时,bn=an+1-an=f(an)-f(an-1)=k(an-an-1)═kn-1(a2-a1)≠0 所以,当n≥2时,=,(4分) 因此,数列{bn}是一个公比为k的等比数列.(1分) (3)【解析】 {an}是等比数列的充要条件是f(x)=kx(k≠1)(2分) 充分性证明: 若f(x)=kx(k≠1),则由已知a1=a≠0,an=f(an-1)(n=2,3,4,)得an=kan-1(n=2,3,4,) 所以,{an}是等比数列.(2分) 必要性证明:若{an}是等比数列,由(2)知,bn=kn-1(a2-a1)(n∈N*)b1+b2++bn-1=(a2-a1)+(a2-a1)++(an-an-1)=an-a1(n≥2),an=a1+(b1+b2++bn-1).(1分) 当k=1时,an=a1+(a2-a1)(n-1)(n≥2). 上式对n=1也成立,所以,数列{an}的通项公式为:an=a+(f(a)-a)(n-1)(n∈N*). 所以,当k=1时,数列{an}是以a为首项,f(a)-a为公差的等差数列. 所以,k≠1.(1分) 当k≠1时,(n≥2). 上式对n=1也成立,所以,=(1分) 所以,⇒f(a)=ka.(1分) 即,等式f(a)=ka对于任意实数a均成立. 所以,f(x)=kx(k≠1).(1分)
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考点分析:
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