Question

在矩形纸片内取n（n∈N^*）个点，连同矩形的4个顶点共（n+4）个点，这（n+4）个点中无三点同在一直线上，以这些点作三角形的顶点，把矩形纸片剪成若干个三角形纸片，把这些三角形纸片的个数记为a_n．
（1）求a₁，a₂．
（2）求数列{a_n}的递推公式．
（3）根据递推公式写出数列{a_n}的前6项．

Answer

（1）由题意知a1=4，a2=6．
（2）由题意可知每增加1个点Ai剪成的三角形纸层实际增加2个，由此可知an=an-1+2（n≥2）．
（3） 把n=1，2，3，4，5，6分别代入an=an-1+2（n≥2），可以求出数列{an}的前6项．
【解析】
（1）a1=4，a2=6
（2）因为这n+4个点中无三点共线，所以每增加1个点Ai（如图，点Ai必在某一个三角形内）剪成的三角形纸层新增3个（图中的1，2，3）但减少了原来的1个，实际增加2个，所以的递推公式是an=an-1+2（n≥2）．
（3） a1=4，a2=a1+2=4+2=6，
a3=a2+2=6+2=8
a4=a3+2=8+2=10
a5=a4+2=10+2=12
a6=a5+2=12+2=14