满分5 > 高中数学试题 >

已知函数f(x)=x2+2ax,g(x)=3a2lnx+b.其中a,b∈R. (...

已知函数f(x)=manfen5.com 满分网x2+2ax,g(x)=3a2lnx+b.其中a,b∈R.
(1)设两曲线y=f(x)与y=g(x)有公共点,且在公共点处的切线相同,若a>0,试建立b关于a的函数关系式;
(2)在(1)的条件下求b的最大值;
(3)若b=0时,函数h(x)=f(x)+g(x)-(2a+6)x在(0,4)上为单调函数,求a的取值范围.
(1)设公共点(x,y),根据题意得到,f(x)=g(x),f′(x)=g′(x),解出b关于a的函数关系式; (2)令b'(a)=0,得a=,经过判断当a=时,b(a)为极大值,即b的最大值; (3)根据已知h(x)为单调函数,则h′(x)≥0或h′(x)≤0,解出a的取值范围即可. 【解析】 (1)设y=f(x)与y=g(x)(x>0)在公共点(x,y)处的切线相同. f′(x)=x+2a,g′(x)=. 由题意知f(x)=g(x),f′(x)=g′(x) 即, 解得x=a或x=-3a(舍去), b=-3a2lna(a>0) (2)b'(a)=5a-6alna-3a=2a(1-3lna). 令b'(a)=0,则,当a变化时,b'(a)及b(a)的变化情况如下表: 所以,时,b(a)有最大值. (3)h(x)=x2+3a2lnx-6x,h′(x)=x+-6 要使h(x)在(0,4)上单调, 须h′(x)=x+-6≤0或h′(x)=x+-6≥0在(0,4)上恒成立. h′(x)=x+-6≤0在(0,4)上恒成立 ⇔3a2≤-x2+6x在(0,4)上恒成立. 而-x2+6x>0,且-x2+6x可为足够小的正数,必有a=0 或h′(x)=x+-6≥0在(0,4)上恒成立 ⇔3a2≥(-x2+6x)max=9,得a≥或a≤-. 综上,所求a的取值范围为a≥或a≤-或a=0.
复制答案
考点分析:
相关试题推荐
已知定点C(-1,0)及椭圆x2+3y2=5,过点C的动直线与椭圆相交于A,B两点.
(Ⅰ)若线段AB中点的横坐标是manfen5.com 满分网,求直线AB的方程;
(Ⅱ)在x轴上是否存在点M,使manfen5.com 满分网为常数?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
查看答案
manfen5.com 满分网如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,AB=AD=2CD,侧面PAD⊥底面ABCD,且△PAD为等腰直角三角形,∠APD=90°,M为AP的中点.
(1)求证:AD⊥PB;
(2)求证:DM∥平面PCB.
查看答案
已知向量m=(manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网),n=(manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网),记f(x)=m•n;
(1)若f(x)=1,求manfen5.com 满分网的值;
(2)若△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足(2a-c)cosB=bcosC,求函
数f(A)的取值范围.
查看答案
某班50名学生在一模数学考试中,成绩都属于区间[60,110].将成绩按如下方式分成五组:第一组[60,70);第二组[70,80);第三组[80,90);第四组[90,100);第五组[100,110].部分频率分布直方图如图所示,及格(成绩不小于90分)的人数为20.
(1)请补全频率分布直方图;
(2)在成绩属于[60,70)∪[100,110]的学生中任取两人,成绩记为m,n,求|m-n|>30的概率;

manfen5.com 满分网 查看答案
已知函数f(x)=x2-6x+5,则同时满足f(x)+f(y)≤0和f(x)-f(y)≥0的点(x,y)所在平面区域的面积是     查看答案
试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

Copyright @ 2008-2019 满分5 学习网 ManFen5.COM. All Rights Reserved.