Question

设函数f（x）=（x-1）²+blnx，其中b为常数．
（1）当时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；
（2）b≤0时，求f（x）的极值点；
（3）求证：对任意不小于3的正整数n，不等式ln（n+1）-lnn＞都成立．

Answer

（1）先由负数没有对数得到f（x）的定义域，求出f（x）的导函数，根据b大于得到导函数大于0，所以函数在定义域内单调递增；
（2）令f（x）的导函数等于0，求出此时方程的解即可得到x的值，根据d小于等于0舍去不在定义域范围中的解，得到符合定义域的解，然后利用这个解把（0，+∞）分成两段，讨论导函数的正负得到函数f（x）的增减性，根据f（x）的增减性即可得到函数的唯一极小值为这个解；
（3）令b=-1＜0，代入f（x）的解析式中确定出f（x），并根据（2）把b的值代入求出的唯一极小值中求出值为，得到函数的递减区间为（0，），根据，利用函数为减函数即可得到函数值，化简得证．
【解析】
（1）由题意知，f（x）的定义域为（0，+∞），．
当时，f'（x）＞0，函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；
（2）令，
得，．
当b≤0时，∉（0，+∞）（舍去），
而∈（0，+∞），
此时：f'（x），f（x）随x在定义域上的变化情况如下表：
由此表可知：∵b≤0时，f（x）有惟一极小值点；
（3）由（2）可知当b=-1时，函数f（x）=（x-1）2-lnx，此时f（x）有惟一极小值点：，
且时，f'（x）＜0，f（x）在为减函数．
∵当n≥3时，，
∴恒有，即恒有．
∴当n≥3时，恒有成立．