Question

若正整数数列1，2，3，…，2ⁿ（n∈N^*）中各项的最大奇数因子的和为a_n﹒求证：

Answer

先看奇数2k+1的最大奇数因子是2k+1；形如2k（k∈N）的数的最大奇数因子是1，根据1，2，3，，2n，，2n+1中各项的最大奇数因子之和为an+1，进而表示出an+1，然后用分组求和的方法求得an的表达式，代入，分析推断，代入即可证明原式．
证明：显然，a1=2
下面考虑an与an+1的关系．
奇数2k+1的最大奇数因子是2k+1；形如2k（k∈N）的数的最大奇数因子是1．．
由于1，2，3，，2n，，2n+1中各项的最大奇数因子之和为an+1，则an+1=1+3+5++（2n+1-1）+a'n，其中a'n是数列2，4，6，，2n+1中各项最大奇数因子之和，它等于1，2，3，，2n中各项的最大奇数因子之和．所以有an+1=1+3+5+…+（2n+1-1）+an⇒an+1-an=4n．
因此，an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）++（an-an-1）=，．
从而，．
故，．