Question

已知函数f（x）=e^x-1，直线l₁：x=1，l₂：y=e^t-1（t为常数，且0≤t≤1），直线l₁，l₂与函数f（x）的图象围成的封闭图形，以及直线l₂，y轴与函数f（x）的图象围成的封闭图形如图中阴影所示．当t变化时阴影部分的面积的最小值为    ．

Answer

由题意及图，可选用定积分求面积，由于阴影部分为两块，可求出函数f（x）=ex-1与直线l2：y=et-1（t为常数，且0≤t≤1）交点，确定出两部分相应函数的积分上下限，确定出被积函数，再由积分的运算求出面积的最值
【解析】
阴影部分面积为s（t）=（et-1）×t-∫t（ex-1）dx+∫t1（ex-1）dx-（et-1）（1-t），
整理得s（t）=（et-1）×（2t-1）-∫t（ex-1）dx+∫t1（ex-1）dx，
=2tet-3et+e+1
∴s′（t）=2tet-et，令s′（t）=0得t=，
则最小值为s（）=．
故答案为．